התמרות פורייה

כפי שראינו בדיון בתופעת התאבכות, שניים (או יותר) גלים יכולים ליצור גל חדש, שתכונותיו ניתן לחשב מתוך התכונות של הגלים המרכיבים אותו. ההיפך הוא גם נכון: כמעט כל גל ניתן לפרק לגלים מרכיבים אשר יוצרים אותו בהרכבה. נתבונן במספר דוגמאות:

1. גלים עומדים

אם שני גלים קוהרנטיים זזים זה לקרת זה, הרכבתם גורמת להיווצרות גל עומד.

גל עומד, הוא גל שכל נקודה שלו מתנודדת מסביב למקום אחד בלי העברת חומר ובלי העברת אנרגיה

גל עומד ניתן לראות, למשל, בתנודות של מיתר גיטרה. גל עומד נוצר גם, כאשר גל רץ בארגז (לדוגמא, בבריכת מים) מדופן אחת, מוחזר מהדופן האחרת ומתנגש עם עצמו:

על כן, כל גל עומד ניתן לראות כתוצאת הרכבה של שני גלים מנוגדים.

 

2. פעימות

הרכבת שני גלים לא קוהרנטיים, אבל בעלי תדירויות קרובות, גורמת להיווצרות פעימות:

 

3. התמרות פורייה

בשנת 1807 מתמטיקאי צרפתי ז'אן בטיסט ז'וזף פורייה (Jean Baptiste Joseph Fourier) הדגים, כי לא רק גלים אלא כמעט כל פונקציה (לפחות, כל פונקציה שניתן לקבל אותה ממדידות ניסיוניות, כי לפונקציות כאלה תמיד קיימות שתי נגזרות) ניתן לפרק למספר מספיק גדול (במקרה גבולי, אינסופי) של גלים סינוסוידאליים. דבר שהפתיע בזמנו את הציבור המדעי עד כדי כך שרעיונותיו של פורייה לא התקבלו כמעט עשר שנים וכאשר ולבסוף התקבלו בהסתייגות כי "הפיתוח שנעשה לא פטור מבעיות ומחייב יותר קפדנות", היה כי גם פונקציות לא מחזוריות ניתן לפרק לגלי סינוס. במאה העשרים דבר זה הפך את התמרות פורייה לכלי אדיר שעליו מסתמכים היום כל הטכנולוגיות של שידורי רדיו, טלוויזיה, אינטרנט מהיר, אקוסטיקה, שיטות רבות של אנליזה כימית ועוד.

בצורה הבסיסית ביותר טוען הרעיון של התמרות פורייה, כי כל פונקצייה רציפה ומספיק חלקה f(t) אפשר להציג כסקרה הבאה:

f(t) = 1/2· A0 + A1cos(ω0t+ϕ1) +A2cos(2ω0t+ϕ2) + ... + Ancos(nω0t+ϕn)

אם ניזכר בעובדה כי cosα = sin (α+π/2), נראה כי סדרה זו (סדרת פורייה) היא סכום של מספר גדול (במקרה הגבולי, אינסופי) של גלים סינוסואידליים בעלי תדירויות המכפלות של תדירות בסיסית מסויימת ω0 ופאזות ואמפליטודות שונות. את האמליטודות של גלים אלה ניתן להציג כפונקציה חדשה . שימו לב כי f(t) היא פונקציה של זמן ו- היא פונקציה של תדירות. אם ניקח בחשבון כי פונקציות סינוס וקוסינוס ניתן להביע דרך אקספוננטה מרוכבת:  eix = cosx + isinx והחישובים עבור אקספוננטות קלים יותר מאשר עבור פונקציות טריגונומטריות, נוכל לרשום את הנוסחה של התמרת פורייה:


התמרת פורייה היא הצגת פונקצייה של זמן בתור ססדרת פונקציות מחזוריות אשר האמפליטודות שלהן ניתן לתאר ע''י פונקצייה של תדירויות.

התמרת פורייה היא הפיכה, כלומר פונקציית ניתן להפוך לפונקציית זמן f(t) ע''י התמרה הקרויה "התמרת פורייה הפוכה". אם "נתרגם" את התמרת פורייה לשפה של גרפים, נבין שגרף של (כמעט) כל פונקצייה ניתן להציג בדיוק גבוה מאוד כהרכבה של גלי סינוס. ככל שמספר הגלם n הסינוסואידליים יותר גדול, כך יותר גדול יהיה דיוק ההצגה:

כאשר יהיה n=∞ נקבל דמיון מוחלט בין גרף הפונקצייה המקורית להצגתה הסינוסואידלית. ברוב המקרים המעשיים ניתן להסתפק במספר קטן יחסית של n על מנת לקבל קירוב טוב מאוד של ההצגה לפונקצייה המקורית.

היות ההתמרות פורייה הופכות פונקציות זמן לפונקציות תדירות ולהיפך, באנליזת פורייה מרבים להשתמש בביטויים "דומיין (תחום) של זמן" ו"דומיין של תדירות" או "מרחב של זמן" ו"מרחב של תדירות". מסתבר כי שני המרחבים הללו קשורים זה עם זה והחלפתם יכולה להביא הרבה אינפורמציה מועילה.


נתבונן עכשיו בכמה מקרים בהם אנו משתמשים (לא תציד ביודעין) בתמרות פורייה: