צורות של גל. תנודות הרמוניות. משוואת גל

היות והקריטריון היחיד של גל הוא מחזוריות, לגל יכולות להיות צורות שונות, כגון:

כמובן, יש גם צורות אחרות, אבל אנחנו נסתפק באלה. שלוש צורות הגל העליונות בתמונה מעלה נבדלות מהגל הרביעי בתכונה אחת חשובה. הגל התחתון הוא חלק. בשפה המתמטית זה אומר שבכל נקודה לפונקציה זו קיימות נגזרות ראשונה ושניה. גל כזה נקרא הרמוני והוא מקרה חשוב מאוד מתחומים שונים, כגון מוזיקה, אקוסטיקה, אופטיקה ועוד. בפיסיקה מקובלת הגדרה הבאה של גל הרמוני:

גל נקרא הרמוני כאשר כוח מחזיר הפועל על כל נקודה בגל, פרופורציוני לסטיית הנקודה משווי משקל.

לא קשה לראות, כי הגדרה זו מתאימה לחוק הוק, הוא חוק של מתיחת קפיץ אלסטית:

F = -kx,

כאשר x היא הסטייה, F הוא הכוח המחזיר ו-k הוא מקדם פרופורציוניות.

 

משוואת גל

אם הגל הוא תנודות של גורם פיזיקאלי מסוים (כגון, אור, קול, אנרגיה, גובה ועוד), תיאור מתמטי שלו צריך להוביל למשוואה המאפשרת למצוא ערכים של גורם פיזיקאלי זה בכל נקודה של מרחב (רב ממדי במקרה הכללי) בכל רגע זמן. בשפה המתמטית טענה זו שוות ערך לטענה כי משוואת הגל של פונקציה u(x, y, z,..., t) (כאשר למרחב מספר שרירותי של ממדים: x, y, z,...) צריכה לקשור את הנגזרת השנייה של u ביחס לזמן עם הנגזרות השניות הפרטיות של u ביחס ל-x, y, z,... מואאה כזו נקראת משוואת גל וצורתה הכללית היא:

כאשר v היא מהירות התפשטות הגל והסימן של המשולש ההפוך (נקרא "נאבְּלה בריבוע) הוא גזירה כפולה של הפונקציה ביחס לכל הקואורדינטות המרחביות:

משוואת הגל הדיפרנציאלית אינה פשוטה ונוחה לניתוח. למרבה המזל, עבור מקרים רבים חשובים ניתן להסתפק במוואת גל הרמוני (הוא גל סינוס) חד-ממדי או ספרי (המתפשט באופן זהה בכל הכיוונים):

u(t) = A sin (ωt+ϕ)

כאשר A היא האמפליטודה, ϕ היא פאזה ו-ω היא תדירות זוויתית, ω=2π/T, איפה T הוא זמן המחזור.